Diketahui sebuah variabel acak kontinu X dengan fungsi f(x) = 2/27 (x + 1), mengambil nilai x antara 2 dan 4. Nilai probabilitas untuk (X < 2,5) adalah…

Diketahui sebuah variabel acak kontinu X dengan fungsi [tex]\sf{f(x) = \dfrac{2}{27}(x + 1)},[/tex] mengambil nilai x antara 2 dan 4. Nilai probabilitas untuk P(X < 2,5) adalah [tex]\boxed{\sf{\dfrac{13}{108}}}.[/tex]

ㅤ

Pembahasan:

Secara umum variabel acak terbagi menjadi dua, yakni variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya merupakan bilangan bulat dan tidak negatif sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel acak yang nilainya berada pada interval tertentu.

ㅤ

Variabel acak kontinu harus memenuhi sifat-sifat berikut:

[tex]\bold{1.} \: \: \sf{0 \leqslant f(x) \leqslant 1.}[/tex]

[tex]\bold{2.} \: \: \displaystyle{\sf{\int\limits^{x_{n}} _{x_{_{0}}}f(x) \: dx = 1.}}[/tex]

[tex]\bold{3.} \: \: \displaystyle{\sf{P(a \leqslant x \leqslant b) = \int\limits^{b}_{a} f(x) \: dx}}.[/tex]

[tex]\bold{4.} \: \: \sf{P(a \leqslant x \leqslant a) = P(a < x < b),} \\ \sf{ \: \: \: \: \: \: tanda \: pertidaksamaan \: di \: anggap \: sama.}[/tex]

ㅤ

Ingat, jika f'(x) merupakan turunan pertama dari f(x) pada interval a sampai dengan b, maka integral dari f'(x) pada interval tersebut dirumuskan:

[tex]\boxed{\boxed{\begin{array}{c}\sf{\int \limits_{a}^{b}f'(x) \: dx = \left[f(x)\right]_{a}^{b} \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \sf{f(b) - f(a)}\end{array}}}[/tex]

ㅤ

Penyelesaian:

Diketahui : [tex]\sf{f(x) = \dfrac{2}{27}(x + 1) \: \: untuk \: 2 < x < 4}[/tex]

ㅤ

Ditanyakan : P(X < 2,5) = … ?

ㅤ

Jawab :

Karena batas bawah dari f(x) adalah 2, maka:

[tex]\sf{P(X < 2,5) = P(2 < X < 2,5)}[/tex]

[tex]\displaystyle{\sf{P(X < 2,5)= \int \limits_{2}^{2,5} \dfrac{2}{27}(x + 1) \: dx}}[/tex]

[tex]\displaystyle{\sf{P(X < 2,5)} = \left[\sf{\dfrac{2}{27} \left(\dfrac{{x}^{2}}{2} + x\right)}\right]^{2,5}_{2}}[/tex]

[tex]\sf{P(X < 2,5) = } \sf{\left[\sf{\dfrac{2}{27}\left(\dfrac{{x}^{2} + 2x}{2}\right)}\right]^{2,5}_{2}}[/tex]

[tex]\sf{P(X < 2,5) = } \sf{\left[\sf{\dfrac{{x}^{2} + 2x}{27}}\right]^{2,5}_{2}}[/tex]

[tex]\sf{P(X < 2,5) = } \sf{\left(\dfrac{{(2,5)}^{2} + 2(2,5)}{27}\right) - \left(\dfrac{{2}^{2} + 2(2)}{27}\right)}[/tex]

[tex]\sf{P(X < 2,5) = } \sf{\left(\dfrac{6,25 + 5}{27}\right) - \left(\dfrac{4 + 4}{27}\right)}[/tex]

[tex]\sf{P(X < 2,5) = } \sf{\left(\dfrac{11,25 }{27}\right) - \left(\dfrac{8}{27}\right)}[/tex]

[tex]\sf{P(X < 2,5) = } \sf{\dfrac{11,25 }{27} - \dfrac{8}{27}} \\ \\ \sf{P(X < 2,5) = \dfrac{3,25}{27}}[/tex]

[tex]\sf{P(X < 2,5) = \dfrac{325}{2700}} \\ \\ \sf{P(X < 2,5) = \dfrac{13}{108}}[/tex]

ㅤ

Jadi nilai probabilitas untuk P(X < 2,5) adalah [tex]\boxed{\sf{\dfrac{13}{108}}}.[/tex]

ㅤ

Pelajari Lebih Lanjut:

• Fungsi Peluang Kumulatif Variabel Acak Kontinu : brainly.co.id/tugas/29939244
• Distribusi Binomial : brainly.co.id/tugas/26223627
• Distribusi Mutinomial : brainly.co.id/tugas/22591263
• Distribusi Normal : brainly.co.id/tugas/28816164

ㅤ

Detail Jawaban:

Kelas : 12

Mapel : Matematika

Materi : Peluang Kejadian Majemuk

Kode Kategorisasi : 12.2.8

Kata Kunci : Variabel Acak, Variabel Acak Diskrit, Variabel Acak Kontinu, Interval, Integral Tentu